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  3. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵， 试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵， 试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．

admin2016-05-31  18
问题 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，
试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．
选项
答案必要性：设BTAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0． 于是，Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n． 充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTAB为实对称矩阵． 若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0． 又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0． 于是当x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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