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将函数f(x)=sin(x+a)展开成x的幂级数,并求收敛域.
将函数f(x)=sin(x+a)展开成x的幂级数,并求收敛域.
admin
2016-10-26
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问题
将函数f(x)=sin(x+a)展开成x的幂级数,并求收敛域.
选项
答案
f(x)存在任意阶导数,且f
(n)
(x)=sin(x+a+[*],从而有 [*] 由于|R
n
(x)|≤[*]→0.(由比值判别法可得[*]收敛,再由级数收敛的必要条件可得[*]=0.) 从而有[*]
解析
将函数f(x)展开成x的幂级数,通常有两种基本方法:第一种是由泰勒公式直接展开,如本题,解题时要说明
R
n
(x)=0,并据此给出收敛域;第二种是利用常见函数的麦克劳林展开式间接展开。需要说明的是,在求导或积分过程中,幂级数收敛半径不变,但收敛域可能会发生变化.
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