设n为正整数，利用已知公式In=∫0π／2sinnxdx=∫0π／2cosnxdx=I*，其中求下列积分： Jn=∫0π／2sinnxcosnxdx；

admin2018-06-15 43

问题设n为正整数，利用已知公式I_n=∫₀^π／2sinⁿxdx=∫₀^π／2cosⁿxdx=

I^*，其中

求下列积分：
J_n=∫₀^π／2sinⁿxcosⁿxdx；

选项

答案J_n=2^－n∫₀^π／2 sinⁿ2xdx=2^－n．1／2∫₀^πsinⁿudu，而 ∫₀^πsinⁿudu=∫₀^π／2sinⁿudu+∫_π／2^πsinⁿudu=2∫₀^π／2sinⁿudu， (其中∫_π／2^πsinⁿudu[*]－∫_π／2⁰sinⁿ(π－t)dt=∫₀^π／2sinⁿtdt) [*]

解析

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考研数学一

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记平面区域D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤1)，计算如下二重积分：I2=∫∫D(eλx-e-λy)dσ，常数λ＞0．
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