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在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式
在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式
admin
2015-07-22
60
问题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z的最大值,并利用所得结果证明不等式
选项
答案
作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=ln x+ln y+3ln z+λ(x
2
+y
2
+z
2
一5R
2
),并令 [*] 由前3式得x
2
=y
2
=[*],代入第4式得可疑点 [*] 因xyz
3
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0,z≥0)上必有最大值,且最大值必在x>0,y>0,z>0取得,故f=ln xyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
也有最大值,而[*]唯一,故最大值为 [*] 又ln x+ln y+3ln z≤[*],故x
2
y
2
z
2
≤27R
10
.令x
2
=a,y
2
=b,z
2
=c,又知x
2
+y
2
+x
2
=5R
2
,则abc
3
≤[*] (a>0,b>0,C>0).
解析
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0
考研数学三
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