2. 考研
  3. 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式

在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式

admin2015-07-22  59
问题 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式
选项
答案作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=ln x+ln y+3ln z+λ(x2+y2+z2一5R2)，并令 [*] 由前3式得x2=y2=[*]，代入第4式得可疑点 [*] 因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2 (x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz3在x2+y2+z2=5R2也有最大值，而[*]唯一，故最大值为 [*] 又ln x+ln y+3ln z≤[*]，故x2y2z2≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+x2=5R2，则abc3≤[*] (a＞0，b＞0，C＞0)．
解析
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考研数学三

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