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设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt,证明:若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt,证明:若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
admin
2022-09-15
8
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且F(x)=∫
0
x
(x-2t)f(t)dt,证明:若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
选项
答案
因为F(x)=x∫
0
x
f(t)df-∫
0
x
2tf(t)df,所以 F’(x)=∫
0
x
f(t)dt+xf(x)-2xf(x)=∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(x)dt=∫
0
x
f(t)-f(x)]dt,由题设,讨论如下: (1)若x>0时,0<t<x,f(t)≥f(x)即f(t)-f(x)≥0,则F’(x)≥0: (2)若x<0时,x<t<0,f(x)≥f(t)即f(x)-f(f)≥0,则 F’(x)=-∫
x
0
[f(t)-f(x)]dt≥0: 所以,总有F’(x)≥0,故F(x)单调不减.
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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