设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt，证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2022-09-15 7

问题设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且F(x)＝∫₀^x(x－2t)f(t)dt，证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

选项

答案因为F(x)=x∫₀^xf(t)df-∫₀^x2tf(t)df，所以 F’(x)=∫₀^xf(t)dt+xf(x)-2xf(x)=∫₀^xf(t)dt-∫₀^xf(x)dt=∫₀^xf(t)-f(x)]dt，由题设，讨论如下： (1)若x＞0时，0＜t＜x，f(t)≥f(x)即f(t)-f(x)≥0，则F’(x)≥0： (2)若x＜0时，x＜t＜0，f(x)≥f(t)即f(x)-f(f)≥0，则 F’(x)=-∫_x⁰[f(t)-f(x)]dt≥0：所以，总有F’(x)≥0，故F(x)单调不减．

解析

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