2. 专升本
  3. 设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt，证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt，证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2022-09-15  1
问题 设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt，证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．
选项
答案因为F(x)=x∫0xf(t)df-∫0x2tf(t)df，所以 F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)-2xf(x)=∫0xf(t)dt-∫0xf(x)dt=∫0xf(t)-f(x)]dt，由题设，讨论如下： (1)若x＞0时，0＜t＜x，f(t)≥f(x)即f(t)-f(x)≥0，则F’(x)≥0： (2)若x＜0时，x＜t＜0，f(x)≥f(t)即f(x)-f(f)≥0，则 F’(x)=-∫x0[f(t)-f(x)]dt≥0： 所以，总有F’(x)≥0，故F(x)单调不减．
解析
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