设λ1，λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于λ1，λn的特征向量，记证明：二次型，(x)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值。

admin2015-09-14 47

问题设λ₁，λ_n分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X₁，X_n分别为对应于λ₁，λ_n的特征向量，记

证明：二次型，(x)=X^TAX在X^TX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值。

选项

答案设λ_n为A的最大特征值，X_n为对应的单位特征向量，即有AX_n=λ_nX_n，X_n^TX_n=1．在X^TX=1条件下，X^TAX≤λ_n，又X_n^TAX_n=X_n^Tλ_nX_n=λ_nX_n^TX_n=λ_n，故 [*] X^TAX=λ_n=f(X_n)。类似可证 [*] X^TAX=λ₁=f(X₁)，其中λ₁为A的最小特征值，X₁为对应的单位特征向量。

解析

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考研数学三

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