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设λ1,λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X1,Xn分别为对应于λ1,λn的特征向量,记 证明:二次型,(x)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值。
设λ1,λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X1,Xn分别为对应于λ1,λn的特征向量,记 证明:二次型,(x)=XTAX在XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值。
admin
2015-09-14
86
问题
设λ
1
,λ
n
分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X
1
,X
n
分别为对应于λ
1
,λ
n
的特征向量,记
证明:二次型,(x)=X
T
AX在X
T
X=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值。
选项
答案
设λ
n
为A的最大特征值,X
n
为对应的单位特征向量,即有AX
n
=λ
n
X
n
,X
n
T
X
n
=1.在X
T
X=1条件 下,X
T
AX≤λ
n
,又X
n
T
AX
n
=X
n
T
λ
n
X
n
=λ
n
X
n
T
X
n
=λ
n
,故 [*] X
T
AX=λ
n
=f(X
n
)。类似可证 [*] X
T
AX=λ
1
=f(X
1
),其中λ
1
为A的最小特征值,X
1
为对应的单位特征向量。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KqU4777K
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考研数学三
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