已知齐次线性方程组 试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系式. (I)方程组仅有零解; (Ⅱ)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。

admin2022-06-08  27

问题 已知齐次线性方程组

试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系式.
(I)方程组仅有零解;
(Ⅱ)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。

选项

答案方程组的系数行列式 [*] (I)b≠0且[*]|A|≠0,方程组仅有零解。 (Ⅱ)当b=0时,原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…+anxn=0。 由[*]可知ai(i=1,2,…,n)不全为零,不妨设a1≠0,因为秩r(A)=1,取x2,x3,…,xn为自由变量,可得方程组的基础解系为α1=(一a2,a1,0, …,0)T,α2=(一a3,0,a1, …,0)T, …,αn-1=(一an,0,0, …,a1)T。 [*] 由于秩r(A)=n—1,则Ax=0的基础解系是α=(1,1,1…,1)T

解析
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