设矩阵A可逆，且A的每一行元素之和均等于常数a，试证：(1)a≠0； (2)A-1的每行元素之和都等于。

admin2015-07-10 150

问题设矩阵A可逆，且A的每一行元素之和均等于常数a，试证：(1)a≠0；
(2)A^-1的每行元素之和都等于

。

选项

答案[*] 若a=0，则|A|=0，与A可逆矛盾．故a≠0。 (2)令A=(α₁，α₂，…α_n)，A^-1=(β₁，β₂，…β_n)，E=(e₁，e₂，…，e_n) 因为A^-1A=E，所以有A^-1α_j=e_j(j=1，2，…n) 于是A^-1α₁+A^-1α₂+…+A^-1α_n=A^-1(α₁+α₂+…+α_n)=e₁+e₂+…+e_n， [*]

解析

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