请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设A

admin2017-10-16 45

问题请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm．

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm²)最大，试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm³)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

选项

答案设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得 [*]，0＜x＜30． (1)S=4ah=8x(30一x)=一8(x一15)²+1800，所以当x=15时，S取得最大值． (2)V=a²h=[*](一x³+30x²)，V^’=[*]x(20一x)．由V^’=0，得x=0(舍去)或x=20．当x∈(0，20)时，V^’＞0；当x∈(20，30)时，V^’＜0．所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值．此时[*]，即包装盒的高与底面边长的比值为[*]．

解析

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