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  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0．

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0．

admin2021-08-31  7
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)＋f’(η)＝0．
选项
答案存在ξ∈(0，1／2)，η∈(1／2，1)，使得 f’(ξ)＝(f(1／2)－f(0))／(1／2－0)＝2[f(1／2)－f(0)]， f’(η)＝(f(1)－f(1／2))／(1－1／2)＝2[f(1)－f(1／2)]， 因为f(0)＝f(1)，所以f’(ξ)＝－f’(η)，即f’(ξ)＋f’(η)＝0．
解析
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考研数学一

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