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设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1),使得f’(ξ)+f’(η)=0.
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1),使得f’(ξ)+f’(η)=0.
admin
2021-08-31
7
问题
设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),证明:存在ξ,η∈(0,1),使得f’(ξ)+f’(η)=0.
选项
答案
存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得 f’(ξ)=(f(1/2)-f(0))/(1/2-0)=2[f(1/2)-f(0)], f’(η)=(f(1)-f(1/2))/(1-1/2)=2[f(1)-f(1/2)], 因为f(0)=f(1),所以f’(ξ)=-f’(η),即f’(ξ)+f’(η)=0.
解析
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考研数学一
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