设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

admin2019-09-27 16

问题设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x²y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．

选项

答案令P(x，y)=xy(x+y)－f(x)y，Q(x，y)=f′(x)+x²y，因为[xy(x+y)－f(x)y]dx+[f′(x)+x²y]dy=0为全微分方程，所以[*]，即f″(x)+f(x)=x²，解得f(x)=C₁cosx+C₂sinx+x²－2，由f(0)=0，f′(0)=1得C₁=2，C₂=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x²－2．原方程为[xy²－(2cosx+sinx)y+2y]dx+(－2sinx+cosx+2x+x²y)dy=0，整理得 (xy²dx+x²ydy)+2(ydx+xdy)－2(ycosxdx+sinxdy)+(－ysinxdx+cosxdy)=0，即d([*]x²y²+2xy－2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解为[*]x²y²+2xy－2ysinx+ycosx=C．

解析

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考研数学一

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