设三维空间中椭圆 (1)证明「的中心为原点，并求「的长轴和短轴的长度； (2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得「与给定椭圆全等。

admin2015-06-14 129

问题设三维空间中椭圆

(1)证明「的中心为原点，并求「的长轴和短轴的长度；
(2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得「与给定椭圆全等。

选项

答案证明：由已知得，椭圆Γ为圆柱x²+y²=R²与平面z=kx相交所得，因为圆柱x²+y²=R²的中心为原点，z=kx平面的中心为原点。故Γ的中心为原点。椭圆Γ与直线[*]的交点为椭圆的两个端点(R，O，kR)，(-R，O，-kR)，因为椭圆的长轴与短轴相互垂直，则另两个端点为椭圆与直线[*]的交点[*]。当∣k∣≥1时长轴长为[*]短轴长为[*]；当∣k∣＜1时长轴长为[*]，短轴长为[*] (2)在平面z=kx上以直线[*]为横轴m以直线[*]为纵轴n建立直角坐标系可得Γ的平面方程为[*]，其中长短轴之比为[*]与R无关，故对任意给定的一个椭圆其两轴长分别为a，b均可找到参数k，R使得a²=R²(1+k²)，[*]

解析

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