2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0．试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使fˊ(ξ)=ξf(ξ)．

设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0．试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使fˊ(ξ)=ξf(ξ)．

admin2016-09-13  18
问题 设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0．试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使fˊ(ξ)=ξf(ξ)．
选项
答案令F(x)=[*]f(x)，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c∈(0，1)． 由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞0，则f(1)＜0，f(0)＜0． 由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(s)=F(b)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使Fˊ(ξ)=0，即 [*]=0． 故fˊ(ξ)=ξf(ξ)．
解析
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考研数学三

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