设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且f(0).f(1)>0,f(1)+∫01f(x)dx=0.试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使fˊ(ξ)=ξf(ξ).

admin2016-09-13  16

问题 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且f(0).f(1)>0,f(1)+∫01f(x)dx=0.试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使fˊ(ξ)=ξf(ξ).

选项

答案令F(x)=[*]f(x),f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=0,c∈(0,1). 由此可知f(c)≠0,否则f(1)=0,与题设f(0)f(1)>0矛盾,不妨设f(c)>0,则f(1)<0,f(0)<0. 由连续函数的零点定理知存在a∈(0,c),b∈(c,1),使f(a)=f(b)=0,即F(s)=F(b),由罗尔定理可知,存在ξ∈(a,b),使Fˊ(ξ)=0,即 [*]=0. 故fˊ(ξ)=ξf(ξ).

解析
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