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设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
admin
2013-02-27
104
问题
设向量α
1
，α
2
，...，α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
(定义法) 若有一组数k,k
1
，k
2
，...，k
t
，使得 kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…k
t
(β+α
t
)=0， ① 则因α
1
，α
2
，...，α
t
是Ax=0的解，知Aα
i
=0(i=1，2，…，t)，用A左乘上式的两边，有 (k+k
1
+k
2
+…+k
t
)Aβ=0． 由于Aβ≠0，故k+k
1
+k
2
+…+k
t
=0． ② 对①重新分组为(k+k
1
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+k
2
β
2
+…+k
t
α
t
=0． ③ 把②代入③，得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
=0． 由于α
1
，α
2
，...，α
t
是基础解系，它们线性无关，故必有k
1
=0，k
2
=0，…，k
t
=0． 代人②式得：k=0． 因此，向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关． (用秩) 经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有 (β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)→(β，α
1
，α
2
，...，α
t
)． 因此 r(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)=r(β,α
1
，α
2
，...，α
t
)． 由于α
1
，α
2
，...，α
t
是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α
1
，α
2
，...，α
t
)=t，又β必不能由α
1
，α
2
，...，α
t
线性表出(否则Aft=0)，故r(α
1
，α
2
，...，α
t
,β)=t+1． 所以 r(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
)=t+1． 即向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
解析
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0
考研数学三
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