设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=试求：在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

admin2016-10-20 55

问题设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中φ(x)=

试求：在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

选项

答案这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’-2y=2的两边同乘e^-2x得(ye^-2x)’=2e^-2x，积分得通解y=C₁e^2x-1；而当x＞1时，方程y’-2y=0的通解为y=C₂e^2x．为保持其在x=1处的连续性，应使C₁e²-1=C₂e²，即C₂=C₁-e^-2，这说明方程的通解为 [*] 再根据初始条件，即得C₁=1，即所求特解为y= [*]

解析

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考研数学三

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