设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

admin2018-10-17 67

问题设f(x)=sinx+∫₀^xe^tf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

选项

答案设μ=x—t，则 ∫₀^xe^tf(x一t)dt=∫_x⁰e^x－μf(μ)d(－μ)=∫₀^xe^x－μf(μ)dμ =e^x∫₀^xe^－μf(μ)dμ 故原方程整理后，得 e^－xf(x)=e^－xsinx+∫₀^xe^－μf(μ)dμ，两端同时对x求导，得 e^－xf^’(x)一e^－xf(x)=e^－xcosx—e^－xsinx＋e^－xf(x)，化简为一阶线性方程得 f^’(x)一2f(x)=cosx—sinx，由一阶线性方程的通解公式得： f(x)=e^∫2dx[∫(cosx－sinx)e^－∫2dxdx+C] =e^2x[∫e^－2x(cosx－sinx)dx＋C]，即f(x)=Ce^2x＋e^2x∫e^－2x(cosx—sinx)dx．分部积分可得∫e^－2x(cosx—sinx)dx=[*]e^－2x(3sinx—cosx)+C₁，其中C₁是任意常数，故原方程的通解为 y=Ce^2x一[*]，又f(0)=0，故C=[*]，所以 f(x)=[*]．

解析

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高等数学二

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