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  3. 设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．

admin2018-10-17  48
问题 设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt，其中f(x)连续，求满足条件的f(x)．
选项
答案设μ=x—t，则 ∫0xetf(x一t)dt=∫x0ex－μf(μ)d(－μ)=∫0xex－μf(μ)dμ =ex∫0xe－μf(μ)dμ 故原方程整理后，得 e－xf(x)=e－xsinx+∫0xe－μf(μ)dμ， 两端同时对x求导，得 e－xf’(x)一e－xf(x)=e－xcosx—e－xsinx＋e－xf(x)， 化简为一阶线性方程得 f’(x)一2f(x)=cosx—sinx， 由一阶线性方程的通解公式得： f(x)=e∫2dx[∫(cosx－sinx)e－∫2dxdx+C] =e2x[∫e－2x(cosx－sinx)dx＋C]， 即f(x)=Ce2x＋e2x∫e－2x(cosx—sinx)dx． 分部积分可得∫e－2x(cosx—sinx)dx=[*]e－2x(3sinx—cosx)+C1，其中C1是任意常数， 故原方程的通解为 y=Ce2x一[*]， 又f(0)=0，故C=[*]，所以 f(x)=[*]．
解析
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