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设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt,其中f(x)连续,求满足条件的f(x).
设f(x)=sinx+∫0xetf(x一t)dt,其中f(x)连续,求满足条件的f(x).
admin
2018-10-17
73
问题
设f(x)=sinx+∫
0
x
e
t
f(x一t)dt,其中f(x)连续,求满足条件的f(x).
选项
答案
设μ=x—t,则 ∫
0
x
e
t
f(x一t)dt=∫
x
0
e
x-μ
f(μ)d(-μ)=∫
0
x
e
x-μ
f(μ)dμ =e
x
∫
0
x
e
-μ
f(μ)dμ 故原方程整理后,得 e
-x
f(x)=e
-x
sinx+∫
0
x
e
-μ
f(μ)dμ, 两端同时对x求导,得 e
-x
f
’
(x)一e
-x
f(x)=e
-x
cosx—e
-x
sinx+e
-x
f(x), 化简为一阶线性方程得 f
’
(x)一2f(x)=cosx—sinx, 由一阶线性方程的通解公式得: f(x)=e
∫2dx
[∫(cosx-sinx)e
-∫2dx
dx+C] =e
2x
[∫e
-2x
(cosx-sinx)dx+C], 即f(x)=Ce
2x
+e
2x
∫e
-2x
(cosx—sinx)dx. 分部积分可得∫e
-2x
(cosx—sinx)dx=[*]e
-2x
(3sinx—cosx)+C
1
,其中C
1
是任意常数, 故原方程的通解为 y=Ce
2x
一[*], 又f(0)=0,故C=[*],所以 f(x)=[*].
解析
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本试题收录于:
高等数学二题库成考专升本分类
0
高等数学二
成考专升本
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