(Ⅰ)证明 (Ⅱ)设f(x)是[a，b]上的正值连续函数，证明其中D={(x，y)∣a≤x≤b，a≤y≤b}．

admin2015-12-22 51

问题 (Ⅰ)证明

(Ⅱ)设f(x)是[a，b]上的正值连续函数，证明

其中D={(x，y)∣a≤x≤b，a≤y≤b}．

选项

答案(Ⅰ)注意到f(x)=e^x的图形是凹的，可试用下述定义证之．设f(x)在(a，b)内连续，对任意x₁，x₂∈(a，b)，都有 [*] 则称f(x)在(a，b)内的图形是凹的(或凹弧)． (Ⅱ)注意到积分区域D为正方形，有轮换对称性，利用此性质及f²(x)+g²(x)≥2f(x)g(x)可证待证不等式．证 (Ⅰ)令f(x)=e^x，则f′(x)=f″(x)=e^x＞0．因而y=f(x)的图形是凹的，由其定义得到 [*] (Ⅱ)因积分区域D为正方形：a≤x≤b，a≤y≤b，关于x与y具有轮换对称性，所以 [*] 从而 [*]

解析

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