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(Ⅰ)证明 (Ⅱ)设f(x)是[a,b]上的正值连续函数,证明其中D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b}.
(Ⅰ)证明 (Ⅱ)设f(x)是[a,b]上的正值连续函数,证明其中D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b}.
admin
2015-12-22
37
问题
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)设f(x)是[a,b]上的正值连续函数,证明
其中D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b}.
选项
答案
(Ⅰ)注意到f(x)=e
x
的图形是凹的,可试用下述定义证之. 设f(x)在(a,b)内连续,对任意x
1
,x
2
∈(a,b),都有 [*] 则称f(x)在(a,b)内的图形是凹的(或凹弧). (Ⅱ)注意到积分区域D为正方形,有轮换对称性,利用此性质及f
2
(x)+g
2
(x)≥2f(x)g(x)可证待证不等式. 证 (Ⅰ)令f(x)=e
x
,则f′(x)=f″(x)=e
x
>0.因而y=f(x)的图形是凹的,由其定义得到 [*] (Ⅱ)因积分区域D为正方形:a≤x≤b,a≤y≤b,关于x与y具有轮换对称性,所以 [*] 从而 [*]
解析
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考研数学二
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