2. 考研
  3. 设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

admin2017-06-08  72
问题 设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关<=>对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．
选项
答案“=>”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单． α1+sα3，α2+tα3对α1，α2，α3的表示矩阵为 [*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α1+sα3，α2+tα3的秩为2，线性无关． “<=”在s=t=0时，得α1，α2线性无关，于是(根据定理3．2)只要再证明α3不可用α1，α2线性表示．用反证法．如果α3可以用α1，α2线性表示，设 α3=c1α1+c2α2， 则因为α3不是零向量，c1，c2不能全为0．不妨设c1≠0，则有 [*] 于是α1－[*]α3，α2线性相关，即当s=[*]，t=0时α1+sα3，α2+tα3相关，与条件矛盾．
解析
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考研数学二

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