设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

admin2017-06-08 51

问题设α₁，α₂，α₃都是n维非零向量，证明：α₁，α₂，α₃线性无关<=>对任何数s，t，α₁+sα₃，α₂+tα₃都线性无关．

选项

答案“=>”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单． α₁+sα₃，α₂+tα₃对α₁，α₂，α₃的表示矩阵为 [*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α₁+sα₃，α₂+tα₃的秩为2，线性无关． “<=”在s=t=0时，得α₁，α₂线性无关，于是(根据定理3．2)只要再证明α₃不可用α₁，α₂线性表示．用反证法．如果α₃可以用α₁，α₂线性表示，设 α₃=c₁α₁+c₂α₂，则因为α₃不是零向量，c₁，c₂不能全为0．不妨设c₁≠0，则有 [*] 于是α₁－[*]α₃，α₂线性相关，即当s=[*]，t=0时α₁+sα₃，α₂+tα₃相关，与条件矛盾．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

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