2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3 证明：α，Aα，A2α线性无关；

已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3 证明：α，Aα，A2α线性无关；

admin2014-02-06  48
问题 已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3
证明：α，Aα，A2α线性无关；
选项
答案由Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，且α1,α2,α3非零可知，α1,α2,α3是A的不同特征值的特征向量，故α1,α2,α3线性无关．又Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，若k1α+k2Aα+k3A2α=0，即k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，则(k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0．由α1,α2,α3线性无关，得齐次线性方程组[*]因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k1=k2=k3=0，即α，Aα，A2α线性无关．
解析
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考研数学三

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