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已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3 证明：α，Aα，A2α线性无关；
已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3 证明：α，Aα，A2α线性无关；
admin
2014-02-06
73
问题
已知A是3阶矩阵，α(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα
i
=iα
i
(i=1，2，3)，令α=α
1
+α
2
+α
3
证明：α，Aα，A
2
α线性无关；
选项
答案
由Aα
1
=α
1
，Aα
2
=2α
2
，Aα
3
=3α
3
，且α
1
,α
2
,α
3
非零可知，α
1
,α
2
,α
3
是A的不同特征值的特征向量，故α
1
,α
2
,α
3
线性无关．又Aα=α
1
+2α
2
+3α
3
，A
2
α=α
1
+4α
2
+9α
3
，若k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
2
α=0，即k
1
(α
1
+α
2
+α
3
)+k
2
(α
1
+2α
2
+3α
3
)+k
3
(α
1
+4α
2
+9α
3
)=0，则(k
1
+k
2
+k
3
)α
1
+(k
1
+2k
2
+4k
3
)α
2
+(k
1
+3k
2
+9k
3
)α
3
=0．由α
1
,α
2
,α
3
线性无关，得齐次线性方程组[*]因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k
1
=k
2
=k
3
=0，即α，Aα，A
2
α线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/M7F4777K
0
考研数学三
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