2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1，证明： (1)存在x1∈[0，1]，使得｜f(x1)｜＞4； (2)存在x2∈[0，1]，使得｜f(x2)｜=4．

设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1，证明： (1)存在x1∈[0，1]，使得｜f(x1)｜＞4； (2)存在x2∈[0，1]，使得｜f(x2)｜=4．

admin2022-06-04  44
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1，证明：
    (1)存在x1∈[0，1]，使得｜f(x1)｜＞4；
    (2)存在x2∈[0，1]，使得｜f(x2)｜=4．
选项
答案因为函数f(x)在[0，1]上连续，所以｜f(x)｜在[0，1]上也连续，进而｜f(x)｜可以取得最大值M．又若｜f(x)｜≡M，则f(x)≡±M，根据条件∫01f(x)dx=0．可得M=0，那么∫01xf(x)dx=0，这与已知条件矛盾．因此｜f(x)｜＞0． (1)根据已知条件 [*] 即M≥4．注意到∫01f(x)dx=0，故M＞4，存在一点x1∈[0，1]，使得｜f(x1)｜=M＞4． (2)如果对于一切x∈[0，1]均有｜f(x)｜＞4，由函数的连续性可知，对于一切x∈[0，1]，有f(x)＞4恒成立或者f(x)＜-4恒成立．无论哪种情形，都与已知条件∫01f(x)dx=0矛盾．因此至少存在一点ξ，使得｜f(ξ)｜≤4．若｜f(ξ)｜=4，取ξ=x2，结论证毕．若｜f(ξ)｜＜4，则因为f(x)在以x1与ξ为端点的闭区间上连续，由介值定理可知存在一点x2，使得｜f(x2)｜=4．
解析
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考研数学三

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