2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可微，且f′(x)≠0．证明存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得．

设函数f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可微，且f′(x)≠0．证明存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得．

admin2019-08-11  61
问题 设函数f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可微，且f′(x)≠0．证明存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得．
选项
答案令g(x)＝lnx，则g(x)与f(x)在[a，b]上满足柯西中值定理的条件，故存在ξ∈(a， b)，使得 [*][f(b)－f(a)]， 从而 [*] 分别对g(x)，f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理，则分别存在η，ζ∈(a，b)使得 [*] 将式②与式③代入式①得 [*]
解析 由ηf′(ζ)＝ξf′(ξ)＝，应想到先对f(x)与g(x)＝lnx使用柯西中值定理，产生一个中值ξ．再对这两个函数的差lnb—lna与f(b)一f(a)凑成可使用拉格朗日中值定理的形式，再分别使用该定理又可得到两个η与ζ．
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考研数学三

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