设则A与B

admin2013-03-04 86

问题设

则A与B

选项 A、合同且相似．
B、合同但不相似．
C、不合同但相似．
D、不合同且不相似．

答案A

解析由丨λE-A丨=λ⁴－4λ³=0，知矩阵的A的特征值是4，0,0．0．又因A是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以A与对角矩阵B相似．
作为实列称矩阵，当A～B时，知A与B有相同的特征值，从而二次型x^TAx与x^TBx有相同的正负惯性指数．因此A与B合同．
所以本题应当选(A)．
注意，实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同．例如

它们的特征值不同，故A与B不相似，但它们的正惯性指数均为2，负惯性指数均为0．所以A与B合同．

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