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设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示．
设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示．
admin
2016-05-31
48
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示．
选项
答案
必要性： a
1
，a
2
，…，a
n
是线性无关的一组n维向量，因此r(a
1
，a
2
，…，a
n
)=n．对任一n维向量b，因为a
1
， a
2
，…，a
n
，b的维数n小于向量的个数n+1，故a
1
，a
2
，…，a
n
，b线性相关． 综上所述r(a
1
，a
2
，…，a
n
，b)=n． 又因为a
1
，a
2
，…，a
n
线性无关，所以n维向量b可由a
1
，a
2
，…，a
n
线性表示． 充分性： 已知任一n维向量b都可由a
1
，a
2
，…，a
n
线性表示，则单位向量组：ε
1
，ε
2
，…，ε
n
可由a
1
，a
2
，…，a
n
线性表示，即 r(ε
1
，ε
2
，…，ε
n
)=n≤r(a
1
，a
2
，…，
n
)， 又a
1
，a
2
，…，a
n
是一组n维向量，有r(a
1
，a
2
，…，a
n
)≤n． 综上，r(a
1
，a
2
，…，a
n
)=n．所以a
1
，a
2
，…，a
n
线性无关．
解析
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考研数学三
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