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设A是m×n阶矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )。
设A是m×n阶矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )。
admin
2015-03-23
15
问题
设A是m×n阶矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )。
选项
A、若Ax=0仅有零解,则Ax=b有惟一解
B、若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多个解
C、若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0仅有零解
D、若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0有非零解
答案
D
解析
由解的判定定理知,对Ax=b,若有r(A)=
=r,则Ax=b一定有解。进一步,若r=n,则Ax=b有惟一解;若r<n,则Ax=b有无穷多解。而对Ax=0一定有解,且设r(A)=r,则若r=n,Ax=0仅有零解;若r<n,Ax=0有非零解。因此,若Ax=b有无穷多解,则必有r(A)=
=r<n,Ax=0有非零解,所以D项成立。但反过来,若r(A)=r=n(或<n),并不能推导出r(A)=
,所以Ax=b可能无解,更谈不上有惟一解或无穷多解。
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