2. 公务员
  3. 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D、D1分别是线段BC、B1C1的中点，P是线段AD的中点． 设上小题中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A—A1M—N的余弦值．

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D、D1分别是线段BC、B1C1的中点，P是线段AD的中点． 设上小题中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A—A1M—N的余弦值．

admin2019-01-23  40
问题 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D、D1分别是线段BC、B1C1的中点，P是线段AD的中点．

设上小题中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A—A1M—N的余弦值．
选项
答案连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过点E作EF⊥A1M，连接AF． 由(1)可得，MN⊥面AA1E，而MN [*] A1MN， 则面AA1E⊥面A1N， 又因为AE⊥A1P，面AA1E∩面A1MN=A1E，所以AE⊥面A1MN， 故EF是AF在面A1MN上的投影，则∠AFE是二面角A—A1M—N的平面角． 设AB=AC=2a，因为∠BAC=120°，则AD=AC·sin30°=[*] 因为[*]，AA1=a， 在Rt△A1P中，A1P=[*] 因为P是AD的中点，MN∥BC，则M是AB的中点， 所以在Rt△AA1M中，AM=AA1=a，A1M=[*]， 在Rt△AFE中，sin∠AFE=[*] 所以[*] 故二面角A—A1M—N的平面角的余弦值为[*]．
解析
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