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设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X—Y不相关的充分必要条件为( )．
设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X—Y不相关的充分必要条件为( )．
admin
2016-01-25
8
问题
设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X—Y不相关的充分必要条件为( )．
选项
A、E(X)＝E(Y)
B、E(X
2
)－(E(X))
2
＝E(Y
2
)－(E(Y))
2
C、E(X
2
)＝E(Y
2
)
D、E(X
2
)＋(E(X))
2
＝E(Y
2
)＋(E(X))
2
答案
B
解析
X，Y不相关的充要条件有：
(1)E(XY)＝E(X).E(Y)；
(2)D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)；
(3)cov(X，Y)＝0；
(4)ρ
xy
＝0．
本例使用条件cov(X，Y)＝0更方便．由
E(ξη)＝E(X
2
一Y
2
)＝E(X
2
)－E(Y
2
)，
而 ξ＝X＋Y． η＝X—Y
则 E(ξ)＝E(X)＋E(Y)， E(η)＝E(X)－E(Y)，
于是 cov(ξ，η)＝E(X
2
)一E(Y
2
)一(E(X)＋E(Y))(E(X)－E(Y))
＝E(X
2
)一(E(X))
2
一(E(Y
2
)一(E(Y))
2
)＋E(X)E(Y)一E(X)E(Y)
＝D(X)一D(Y)．
因此cov(ξ，η)＝0的充要条件是D(X)＝D(Y)．仅(B)入选．
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考研数学三
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