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设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( ).
设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( ).
admin
2016-01-25
13
问题
设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( ).
选项
A、E(X)=E(Y)
B、E(X
2
)-(E(X))
2
=E(Y
2
)-(E(Y))
2
C、E(X
2
)=E(Y
2
)
D、E(X
2
)+(E(X))
2
=E(Y
2
)+(E(X))
2
答案
B
解析
X,Y不相关的充要条件有:
(1)E(XY)=E(X).E(Y);
(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y);
(3)cov(X,Y)=0;
(4)ρ
xy
=0.
本例使用条件cov(X,Y)=0更方便.由
E(ξη)=E(X
2
一Y
2
)=E(X
2
)-E(Y
2
),
而 ξ=X+Y. η=X—Y
则 E(ξ)=E(X)+E(Y), E(η)=E(X)-E(Y),
于是 cov(ξ,η)=E(X
2
)一E(Y
2
)一(E(X)+E(Y))(E(X)-E(Y))
=E(X
2
)一(E(X))
2
一(E(Y
2
)一(E(Y))
2
)+E(X)E(Y)一E(X)E(Y)
=D(X)一D(Y).
因此cov(ξ,η)=0的充要条件是D(X)=D(Y).仅(B)入选.
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考研数学三
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