设函数f(x)在区间[0，2a]上连续，且f(0)＝f(2a)，证明：在[0，a]上至少存在一点ε，使f(ε)＝f(ε＋a)．

admin2013-06-04 83

问题设函数f(x)在区间[0，2a]上连续，且f(0)＝f(2a)，证明：在[0，a]上至少存在一点ε，使f(ε)＝f(ε＋a)．

选项

答案证：令F(x)＝f(x)－f(x＋a)，则由f(x)在[0，2a]上连续可得F(x)在[0，a]上连续，且 F(0)＝f(0)－f(a)， F(a)＝f(a)－f(2a)＝f(a)－f(0)． (1)若f(a)－f(0)＝0，则,x＝0与x＝a均满足要求； (2)若f(a)－f(0)≠0，则F(a)与F(0)异号，由零点定理知，必存在一点ε∈(0，a)，使得f(ε)＝f(ε＋a)．

解析

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考研数学三

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