若函数f(χ，y)对任意正实数t，满足 f(tχ，ty)＝tnf(χ，y)， (7．12) 称f(χ，y)为，1次齐次函数．设f(χ，y)是可微函数，证明：f(χ，y)为n次齐次函数

admin2018-04-18 58

问题若函数f(χ，y)对任意正实数t，满足
f(tχ，ty)＝tⁿf(χ，y)， (7．12)
称f(χ，y)为，1次齐次函数．设f(χ，y)是可微函数，证明：f(χ，y)为n次齐次函数

选项

答案设f(χ，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tχ，ty)＝tⁿf(χ，y)([*]t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得 χf₁^′(tχ，ty)＋yf₂^′(tχ，ty)＝nt^n-1f(χ，y)([*]t＞0)，令t＝1，则χf_χ^′(χ，y)＋yf_y^′(χ，y)＝nf(χ，y)．现设上式成立．考察φ(t)＝[*]，由复合函数求导法则，可得 [*] 即φ(t)为常数，φ(t)＝φ(1)＝f(χ，y)，即f(χ，ty)＝tⁿf(χ，y)．

解析

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