设f(x)在(－∞，＋∞)内可微，证明：在f(x)的任何两个零点之间必有f(x)＋fˊ(x)的一个零点．

admin2013-03-15 74

问题设f(x)在(－∞，＋∞)内可微，证明：在f(x)的任何两个零点之间必有f(x)＋fˊ(x)的一个零点．

选项

答案证：作辅助函数F(x)＝f(x)e^x 显然F(x)在[α，β]上连续，且在(α，β)内可微，其中α，β为f(x)的任意两个零点，即f(α)＝f(β)＝0，且α＜β F(α)＝f(a)e^a＝0＝f(β)e^β＝F(β) 可知F(x)在[α，β]上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点ε∈(α，β)，使Fˊ(ε)＝0．即e^εf(ε)＋e^εfˊ(ε)＝0，亦即f(ε)＋fˊ(ε)＝0．命题得证．

解析

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