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  3. 已知A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*-6E的秩

已知A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*-6E的秩

admin2016-02-27  23
问题 已知A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=-2α1+3α3。
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值；
    (Ⅱ)求矩阵A的特征向量；
    (Ⅲ)求矩阵A*-6E的秩。
选项
答案(Ⅰ)由已知条件可得 A(α1，α2，α3)=(-α1-3α2-3α3，4α1+4α2+α3，-2α1+3α3) =(α1，α2，α3)[*] 记[*]， P1=(α1，α2，α3)，由α1，α2，α3线性无关可知矩阵P1可逆， 且P1-1AP1=B，所以A与B相似。 矩阵B的特征多项式｜λE-B｜=(λ-1)(λ-2)(λ-3)，所以矩阵B的特征值是 1，2，3，从而矩阵A的特征值也是1，2，3。 (Ⅱ)由(λiE-B)x=0可得对应于特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3的一个特征向量分别为 β1=(1，1，1)T，β2=(2，3，3)T，β3=(1，3，4)T。 令P2=(β1，β2，β3)， 则有P2-1BP2=[*]， 结合P1-1AP1=B，可得 P1-1AP1=[*] (P1P2)-1A(P1P2)=[*] 令P=P1P2，则P的列向量就是矩阵A属于特征值1，2，3的特征向量，而 P=(α1，α2，α3)(β1，β2，β3)=(α1+α2+α3，2α1+3α2+3α3，α1+3α2+4α3)， 所以矩阵A属于特征值1，2，3的特征向量分别为 k1(α1+α2+α3)，k2(2α1+3α2+3α3)，k3(α1+3α2+4α3)，ki≠0(i=1，2，3)。 (Ⅲ)因为矩阵A的特征值为1，2，3，所以由A*A=｜A｜E可知A*的特征值为6，3，2，则A*-6E的特征值为0，-3，-4，故秩r(A*-6E)=2。
解析
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考研数学二

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