设f(x)在(一∞，+∞)上连续，T为常数，则下述命题错误的是( )

admin2020-03-01 76

问题设f(x)在(一∞，+∞)上连续，T为常数，则下述命题错误的是( )

选项 A、对任意的a＞0，∫_-a^af(x)dx=0的充分必要条件是f(x)为奇函数．
B、对任意的a＞0，∫_-a^af(x)dx=2∫₀^af(x)dx的充分必要条件是f(x)为偶函数．
C、对任意的a＞0，∫_a^a+Tf(x)dx与a无关的充分必要条件是f(x)有周期T
D、f(x+T)=f(x)的充分必要条件是∫₀^xf(t)dt有周期T

答案D

解析设

，∫_-a^af(t)dt=0，两端对a求导，得f(a)+f(一a)=0，即f(一a)=-f(a)，故f(x)为奇函数．
反之，设f(x)为奇函数，则有∫_-a^af(t)dt=0，因此(A)正确．
同理(B)，(C)也都正确．
对于(D)，可举反例说明是错误的，例如f(x)=1+cosx是以2π为最小正周期的函数，但是∫₀^xf(t)dt=x+sinx并不是周期函数，因此(D)是错误的命题．

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考研数学二

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