2. 考研
  3. 23．证明： 若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。

23．证明： 若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。

admin2018-01-30  86
问题 23．证明：
若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。
选项
答案由(I)的结论可知至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)， 又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。 对φ(x)在[1，2]，[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)可得 φ’(ξ1)=[*]＞0， 1＜ξ1＜2， φ’(ξ2)=[*]＜0，2＜ξ1＜η≤3， 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，有 φ’’(ξ)=[*]＜0，ξ∈(ξ1，ξ2)[*](1，3)。
解析
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考研数学二

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