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23.证明: 若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ’’(ξ)<0。
23.证明: 若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ’’(ξ)<0。
admin
2018-01-30
63
问题
23.证明:
若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ
’’
(ξ)<0。
选项
答案
由(I)的结论可知至少存在一点η∈[2,3],使 ∫
2
3
φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η), 又由φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx=φ(η),知2<η≤3。 对φ(x)在[1,2],[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并结合φ(1)<φ(2),φ(η)<φ(2)可得 φ
’
(ξ
1
)=[*]>0, 1<ξ
1
<2, φ
’
(ξ
2
)=[*]<0,2<ξ
1
<η≤3, 在[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数φ
’
(x)应用拉格朗日中值定理,有 φ
’’
(ξ)=[*]<0,ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](1,3)。
解析
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考研数学二
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