2. 专升本
  3. 设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．

设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．

admin2016-04-27  14
问题 设f(x)具有二阶导数，试确定f(x)，使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关．
选项
答案[*] 由曲线积分与路径无关，所以有[*]，即y"+2y’+y=e-x． 先求对应齐次方程y"+2y’+y=0的通解． 因特征方程为：r2+2r+1=0所以r=-1为二重根， 所以齐次方程的通解为Y=e-x(C1x+C2) 设y*=2Ax2e-x为方程y"+2y’+y=e-x的特解． 则y*’=2Axe-x-Ax2e-x y*"=2Ae-x-4Axe-x+Ax2e-x． 将y*，y*’，y*"代入微分方程y"+2y’+y=e-x．比较系数可得A=1／2． 所以y*=[*]x2e-x．所以f(x)=e-x(C1x+C2)+[*]x2e-x．
解析
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