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设f(x)具有二阶导数,试确定f(x),使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关.
设f(x)具有二阶导数,试确定f(x),使曲线积分∫C[e-x-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关.
admin
2016-04-27
16
问题
设f(x)具有二阶导数,试确定f(x),使曲线积分∫
C
[e
-x
-2f(x)-f(x)]ydx+f’(x)dy与积分路径无关.
选项
答案
[*] 由曲线积分与路径无关,所以有[*],即y"+2y’+y=e
-x
. 先求对应齐次方程y"+2y’+y=0的通解. 因特征方程为:r
2
+2r+1=0所以r=-1为二重根, 所以齐次方程的通解为Y=e
-x
(C
1
x+C
2
) 设y*=2Ax
2
e
-x
为方程y"+2y’+y=e
-x
的特解. 则y*’=2Axe
-x
-Ax
2
e
-x
y*"=2Ae
-x
-4Axe
-x
+Ax
2
e
-x
. 将y*,y*’,y*"代入微分方程y"+2y’+y=e
-x
.比较系数可得A=1/2. 所以y*=[*]x
2
e
-x
.所以f(x)=e
-x
(C
1
x+C
2
)+[*]x
2
e
-x
.
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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