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已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,过点K(一1,0)与点A的直线l’与抛物线C相交于另一点D。 (1)求证:B,D关于x轴对称; (2)若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M,N两点,以MN为直径的圆
已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,过点K(一1,0)与点A的直线l’与抛物线C相交于另一点D。 (1)求证:B,D关于x轴对称; (2)若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M,N两点,以MN为直径的圆
admin
2017-12-17
23
问题
已知抛物线C:y
2
=4x的焦点F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,过点K(一1,0)与点A的直线l’与抛物线C相交于另一点D。
(1)求证:B,D关于x轴对称;
(2)若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好经过A,B两点,求直线l的方程。
选项
答案
(1)由题意知焦点F(1,0),K(一1,0)。设A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
),D(x
D
,y
D
)。由题意可知,直线l,l’和坐标轴不垂直。可设直线l的方程为x=my+1(m≠0),直线l’的方程为x=m
1
y-1(m
1
≠0)。则 [*] 直线l的方程与抛物线方程联立可得y
2
一4my一4=0,所以y
A
+y
B
=4m,y
A
y
B
=4。直线l’的方程与抛物线方程联立可得y
2
-4m
2
y+4=0,所以y
A
+y
D
=4m
2
,y
A
y
D
=4。所以 [*] 所以,B,D关于x轴对称。 (2)设M(x
M
,y
M
),N(x
N
,y
N
)。由(1)中计算可知,AB的中点坐标E(2m
2
+1,2m),弦长 [*] 又直线MN的斜率为一m,所以直线MN的方程为y=一m[x一(2m
2
+1)]+2m,整理得 [*] 如图所示, [*] 以MN为直径的圆恰好经过A,B两点,等价于 [*] 化简得m
2
=1,所以m=±1,直线l的方程为x-y一1=0或x+y一1=0。
解析
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