已知抛物线C：y2=4x的焦点F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过点K(一1，0)与点A的直线l’与抛物线C相交于另一点D。 (1)求证：B，D关于x轴对称； (2)若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，以MN为直径的圆

admin2017-12-17 22

问题已知抛物线C：y²=4x的焦点F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过点K(一1，0)与点A的直线l’与抛物线C相交于另一点D。

(1)求证：B，D关于x轴对称；
(2)若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好经过A，B两点，求直线l的方程。

选项

答案(1)由题意知焦点F(1，0)，K(一1，0)。设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，D(x_D，y_D)。由题意可知，直线l，l’和坐标轴不垂直。可设直线l的方程为x=my+1(m≠0)，直线l’的方程为x=m₁y-1(m₁≠0)。则 [*] 直线l的方程与抛物线方程联立可得y²一4my一4=0，所以y_A+y_B=4m，y_Ay_B=4。直线l’的方程与抛物线方程联立可得y²-4m²y+4=0，所以y_A+y_D=4m²，y_Ay_D=4。所以 [*] 所以，B，D关于x轴对称。 (2)设M(x_M，y_M)，N(x_N，y_N)。由(1)中计算可知，AB的中点坐标E(2m²+1，2m)，弦长 [*] 又直线MN的斜率为一m，所以直线MN的方程为y=一m[x一(2m²+1)]+2m，整理得 [*] 如图所示， [*] 以MN为直径的圆恰好经过A，B两点，等价于 [*] 化简得m²=1，所以m=±1，直线l的方程为x-y一1=0或x+y一1=0。

解析

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已知抛物线C：y2=4x的焦点F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过点K(一1，0)与点A的直线l’与抛物线C相交于另一点D。 (1)求证：B，D关于x轴对称； (2)若作AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，以MN为直径的圆

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