设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2016-10-20 48

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα₃=α₂+α₃，证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案(1)(用定义) 据已知条件有Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， ① 用A左乘①式的两端，并代人已知条件，有 -k₁α₁+k₂α₂+k₃(α₂+α₃)=0． ② ①-②得 2k₁α₁-k₂α₂=0．由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而k₁=0，k₃=0．将其代入①式得k₂α₂=0．因为α₂是特征向量，必有α₂≠0，从而k₂=0．因此，α₁，α₂，α₃线性无关． (2)(用反证法) 设α₁，α₂，α₃线性相关，由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以 α₁，α₂必线性无关．从而α₃可以由α₁，α₂线性表出．不妨设 α₃=k₁α₁+k₂α₂， ① 用A左乘①式两端，并把Aα₃=α₂+α₃，Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂代入，得 α₂+α₂₃=-k₁α₁+k₂α₂． ② ①-②得 -α₂=2k₁α₁．由此得出α₁，α₂线性相关，与题设矛盾，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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