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设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α满足Aα3=α2+α3,证明α1,α2,α3线性无关.
设A为3阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α满足Aα3=α2+α3,证明α1,α2,α3线性无关.
admin
2016-10-20
48
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量α满足Aα
3
=α
2
+α
3
,证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
选项
答案
(1)(用定义) 据已知条件有Aα
1
=-α
1
,Aα
2
=α
2
,Aα
3
=α
2
+α
3
.设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, ① 用A左乘①式的两端,并代人已知条件,有 -k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
(α
2
+α
3
)=0. ② ①-②得 2k
1
α
1
-k
2
α
2
=0. 由于α
1
,α
2
是矩阵A不同特征值的特征向量,所以α
1
,α
2
线性无关,从而k
1
=0,k
3
=0. 将其代入①式得k
2
α
2
=0.因为α
2
是特征向量,必有α
2
≠0,从而k
2
=0. 因此,α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (2)(用反证法) 设α
1
,α
2
,α
3
线性相关,由于α
1
,α
2
是矩阵A不同特征值的特征向量,所以 α
1
,α
2
必线性无关.从而α
3
可以由α
1
,α
2
线性表出.不妨设 α
3
=k
1
α
1
+k
2
α
2
, ① 用A左乘①式两端,并把Aα
3
=α
2
+α
3
,Aα
1
=-α
1
,Aα
2
=α
2
代入,得 α
2
+α
23
=-k
1
α
1
+k
2
α
2
. ② ①-②得 -α
2
=2k
1
α
1
. 由此得出α
1
,α
2
线性相关,与题设矛盾,故α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OeT4777K
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考研数学三
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