2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2016-10-20  63
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．
选项
答案(1)(用定义) 据已知条件有Aα1=-α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3．设 k1α1+k2α2+k3α3=0， ① 用A左乘①式的两端，并代人已知条件，有 -k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0． ② ①-②得 2k1α1-k2α2=0． 由于α1，α2是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而k1=0，k3=0． 将其代入①式得k2α2=0．因为α2是特征向量，必有α2≠0，从而k2=0． 因此，α1，α2，α3线性无关． (2)(用反证法) 设α1，α2，α3线性相关，由于α1，α2是矩阵A不同特征值的特征向量，所以 α1，α2必线性无关．从而α3可以由α1，α2线性表出．不妨设 α3=k1α1+k2α2， ① 用A左乘①式两端，并把Aα3=α2+α3，Aα1=-α1，Aα2=α2代入，得 α2+α23=-k1α1+k2α2． ② ①-②得 -α2=2k1α1． 由此得出α1，α2线性相关，与题设矛盾，故α1，α2，α3线性无关．
解析
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考研数学三

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