设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2016-10-20 42

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα₃=α₂+α₃，证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案(1)(用定义) 据已知条件有Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， ① 用A左乘①式的两端，并代人已知条件，有 -k₁α₁+k₂α₂+k₃(α₂+α₃)=0． ② ①-②得 2k₁α₁-k₂α₂=0．由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而k₁=0，k₃=0．将其代入①式得k₂α₂=0．因为α₂是特征向量，必有α₂≠0，从而k₂=0．因此，α₁，α₂，α₃线性无关． (2)(用反证法) 设α₁，α₂，α₃线性相关，由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以 α₁，α₂必线性无关．从而α₃可以由α₁，α₂线性表出．不妨设 α₃=k₁α₁+k₂α₂， ① 用A左乘①式两端，并把Aα₃=α₂+α₃，Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂代入，得 α₂+α₂₃=-k₁α₁+k₂α₂． ② ①-②得 -α₂=2k₁α₁．由此得出α₁，α₂线性相关，与题设矛盾，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

考研数学三

设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

利用概率测度的性质证明：在投掷两枚硬币的试验中，第一枚是均匀的当且仅当P({(H，H)，(H，T)})=1/2；第二枚硬币是均匀的当且仅当P({(H，H)，(T，H)})=1/2，其中H表示硬币出现的是正面，T表示硬币出现的是反面．

设P(A)=0或1，证明A与其他任何事件B相互独立．

求曲线x2＋z2＝10，y2＋z2＝10在点(1，1，3)处的切线和法平面方程．

试求下列微分方程在指定形式下的解:(1)y〞＋3yˊ＋2y＝0，形如y＝erx的解；(2)x2y〞＋6xyˊ＋4y＝0，形如y＝xλ的解．

试求正数λ的值，使得曲面xyz＝λ与曲面在某一点相切．

用函数极限的定义证明：

A．右上腹绞痛，伴压痛、黄疸、Murphy征阳性B．脐周围阵痛，伴有压痛，肠鸣亢进，有肠型C．上腹压痛，板样强直，肝浊音界消失D．上腹部胀痛伴有胃型及拍水声E．胸骨下持续性钝痛，腹部体征正常急性肠梗阻

患者，女，40岁。平素情绪易于激动，常于情志不舒、恼怒时发生腹痛泄泻、肠鸣，矢气较频。诊见胁肋胀闷，苔白，脉弦。应首选何方治疗

()既是禅宗大师，又被华严宗尊为五祖，在中国佛教史上有重要地位。

文学和影视既密切相关、相互渗透，同时又有不同的质的规定性和巨大，常常使人们陷入无休无止的，甚至让人无所适从。依次填入划横线部分最恰当的一项是()。

数据库(DB)、数据库系统(DBS)和数据库管理系统(DBMS)之间的关系是

______beforeweleavethedayaftertomorrow,weshouldhaveawonderfultimetogether.(北京大学2007年试题)

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设P(A)=0或1，证明A与其他任何事件B相互独立．

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