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求一个正交变换x=Py，把二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x1x2+2x32化为标准形．
求一个正交变换x=Py，把二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x1x2+2x32化为标准形．
admin
2016-07-11
68
问题
求一个正交变换x=Py，把二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=3x
1
2
+4x
1
x
2
+2x
3
2
化为标准形．
选项
答案
二次型的矩阵是 [*] 故A的特征值为λ
1
=-1，λ
2
=2，λ
3
=4． 当λ
1
=一1时．解方程组(一E-A)x=0，对A+E进行初等行变换，[*] 得属于特征值λ
1
=一1的一个特征向量是[*] 当λ
2
=2时，解方程组(2E—A)x=0，得到属于特征值λ
2
=2的一个特征向量是[*] 当λ
3
=4时，解方程组(4E—A)x=0，得到属于特征值λ
3
=4的一个特征向量是[*] 令P=(p
1
，p
2
，p
3
)=[*]，则P为正交矩阵． 从而x=Py为正交变换，故f(x
1
，x
2
，x
3
)=f(y
1
，y
2
，y
3
)=一y
1
2
+2y
2
2
+4y
3
2
．
解析
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本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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