2. 考研
  3. 设矩阵，且A3=O． 　　(Ⅰ)求a的值； 　　(Ⅱ)若矩阵X满足X一XA2一AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

设矩阵，且A3=O． 　　(Ⅰ)求a的值； 　　(Ⅱ)若矩阵X满足X一XA2一AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

admin2015-09-12  59
问题 设矩阵，且A3=O．
　　(Ⅰ)求a的值；
　　(Ⅱ)若矩阵X满足X一XA2一AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵，求X．
选项
答案(Ⅰ)由A3=0两端取行列式，得∣A∣3=0，从而得∣A∣=0，而∣A∣=a3，所以a=0． (Ⅱ)解1 由已知的X一XA2一AX+AXA2=E，得 X(E—A2)一AX(E一A2)=E 即 (E一A)X(E一A2)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E—A，E一A2均可逆，所以 X=(E一A)-1(E—A2)-1 [*] △解2 同解1一样可得 (E一A)X(E一A2)=E 所以 X=(E一A)-1(E一A2)-1=[E一A2)(E—A)]-1 =[E—A—A2+A2]-1=[E—A—A2]-1 由(Ⅰ)知 [*] 所以 [*]
解析 本题综合考查方阵的行列式、矩阵的线性运算、矩阵乘法、求逆矩阵及求解矩阵方程等基本运算．注意本题(Ⅰ)的求解利用了“方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积”，不必算出A3．在(Ⅱ)的求解中应注意，由矩阵方程PXQ=E求未知矩阵X，应两端左乘P-1，两端右乘Q-1．
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考研数学三

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