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设矩阵,且A3=O. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若矩阵X满足X一XA2一AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵,求X.
设矩阵,且A3=O. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若矩阵X满足X一XA2一AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵,求X.
admin
2015-09-12
81
问题
设矩阵
,且A
3
=O.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若矩阵X满足X一XA
2
一AX+AXA
2
=E,其中E为3阶单位矩阵,求X.
选项
答案
(Ⅰ)由A
3
=0两端取行列式,得∣A∣
3
=0,从而得∣A∣=0,而∣A∣=a
3
,所以a=0. (Ⅱ)解1 由已知的X一XA
2
一AX+AXA
2
=E,得 X(E—A
2
)一AX(E一A
2
)=E 即 (E一A)X(E一A
2
)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E—A,E一A
2
均可逆,所以 X=(E一A)
-1
(E—A
2
)
-1
[*] △解2 同解1一样可得 (E一A)X(E一A
2
)=E 所以 X=(E一A)
-1
(E一A
2
)
-1
=[E一A
2
)(E—A)]
-1
=[E—A—A
2
+A
2
]
-1
=[E—A—A
2
]
-1
由(Ⅰ)知 [*] 所以 [*]
解析
本题综合考查方阵的行列式、矩阵的线性运算、矩阵乘法、求逆矩阵及求解矩阵方程等基本运算.注意本题(Ⅰ)的求解利用了“方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积”,不必算出A
3
.在(Ⅱ)的求解中应注意,由矩阵方程PXQ=E求未知矩阵X,应两端左乘P
-1
,两端右乘Q
-1
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OvU4777K
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考研数学三
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