已知f(χ)具有任意阶导数，且f′(χ)＝[f(χ)]2，则f(χ)的n阶导数f(n)(χ)＝_______．

admin2017-11-09 16

问题已知f(χ)具有任意阶导数，且f′(χ)＝[f(χ)]²，则f(χ)的n阶导数f⁽ⁿ⁾(χ)＝_______．

选项

答案n![f(χ)]ⁿ⁺¹

解析由题意f′(χ)＝[f(χ)]²，则
f〞(χ)＝[(f(χ))²]′＝2f(χ)f′(χ)＝2[f(χ)]³，
f″′(χ)＝[2(f(χ))³]′＝3!f²(χ).f(χ)＝3![f(χ)]⁴，
由归纳知f⁽ⁿ⁾(χ)＝n![f(χ)]ⁿ⁺¹．
故应填n![f(χ)]ⁿ⁺¹．

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