定义在R上的狄利克雷函数为 D(x)= 和定义在[0，1]上的黎曼函数为 R(x)= 试求D(R(x))和R(D(x))．

admin2022-10-31 41

问题定义在R上的狄利克雷函数为
D(x)=

和定义在[0，1]上的黎曼函数为
R(x)=

试求D(R(x))和R(D(x))．

选项

答案先求D(R(x))．因为R(x)的值域包含在D的定义域中，于是D与R可以复合．当x∈(0，1)，x=p／q，p，q为互质正整数，有R(p／q)=1／q，而D(R(p／q))=D(1／q)=1．当x为0，1或(0，1)中无理数时，R(x)=0．而D(0)=1，因而D(R(x))≡1，x∈[0，1]．再讨论R(D(x))，因为D(x)的值域仅有{0，1}两点，包含于R(x)的定义域中且R(0)=R(1)=0，于是R(D(x))≡0，x∈R．

解析

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