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  3. 定义在R上的狄利克雷函数为 D(x)= 和定义在[0，1]上的黎曼函数为 R(x)= 试求D(R(x))和R(D(x))．

定义在R上的狄利克雷函数为 D(x)= 和定义在[0，1]上的黎曼函数为 R(x)= 试求D(R(x))和R(D(x))．

admin2022-10-31  46
问题 定义在R上的狄利克雷函数为
    D(x)=
    和定义在[0，1]上的黎曼函数为
    R(x)=
    试求D(R(x))和R(D(x))．
选项
答案先求D(R(x))．因为R(x)的值域包含在D的定义域中，于是D与R可以复合． 当x∈(0，1)，x=p／q，p，q为互质正整数，有R(p／q)=1／q，而D(R(p／q))=D(1／q)=1． 当x为0，1或(0，1)中无理数时，R(x)=0．而D(0)=1，因而D(R(x))≡1，x∈[0，1]． 再讨论R(D(x))，因为D(x)的值域仅有{0，1}两点，包含于R(x)的定义域中且R(0)=R(1)=0，于是R(D(x))≡0，x∈R．
解析
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考研数学三

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