2. 考研
  3. f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得 fˊ(ξ)=2∫01f(x)dx．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得 fˊ(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2016-09-13  54
问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得
fˊ(ξ)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为fˊ(x)在[0，1]上连续，所以，fˊ(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x1，x2∈[0，1]，使fˊ(x1)=m，fˊ(x2)=M． 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)－f(0)=fˊ(η)x，于是有 fˊ(x1)x=mx≤f(x)=f(x)－f(0)=fˊ(η)x≤Mx=fˊ(x2)x， 积分得 fˊ(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤fˊ(x2)∫01xdx， 即[*]fˊ(x1)≤∫01f(x)dx≤[*]fˊ(x2)，故fˊ(x1)≤2∫01f(x)dx≤fˊ(x2)． 因为fˊ(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2][*][0，1]，或ξ∈[x2，x1][*][0，1]，使fˊ(ξ)=2∫01f(x)dx．
解析
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考研数学三

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