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f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得 fˊ(ξ)=2∫01f(x)dx.
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得 fˊ(ξ)=2∫01f(x)dx.
admin
2016-09-13
41
问题
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得
fˊ(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
因为fˊ(x)在[0,1]上连续,所以,fˊ(x)在[0,1]上有最小值和最大值,设为m,M,即有x
1
,x
2
∈[0,1],使fˊ(x
1
)=m,fˊ(x
2
)=M. 由中值定理,对任意x∈[0,1],存在η∈(0,x),使f(x)=f(x)-f(0)=fˊ(η)x,于是有 fˊ(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)-f(0)=fˊ(η)x≤Mx=fˊ(x
2
)x, 积分得 fˊ(x
1
)∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f(x)dx≤fˊ(x
2
)∫
0
1
xdx, 即[*]fˊ(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤[*]fˊ(x
2
),故fˊ(x
1
)≤2∫
0
1
f(x)dx≤fˊ(x
2
). 因为fˊ(x)在[0,1]上连续,由介值定理,必有ξ∈[x
1
,x
2
][*][0,1],或ξ∈[x
2
,x
1
][*][0,1],使fˊ(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
解析
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0
考研数学三
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