设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．试证：对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．

admin2012-02-21 119

问题设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1．试证：
对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．

选项

答案要证f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1，即要证[f’(ξ)-1]-λ[f(ξ)-ξ]=0，记φ(x)=f(x)-x，也就是要证φ’(f)-λφ(ξ)=0．构造辅助函数F(x)=e^-λxφ(x)=e^-λx[f(x)-x]，不难发现F(x)在[0，η]上满足尔尔定理的全部条件，故存在ξ∈(0，η)，使F’(ξ)=0，即e^-λx[φ’(ξ)-λφ(ξ)]=0，而e^-λx≠0，从而有φ’(ξ)-λφ(ξ)=0，即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．

解析

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考研数学三

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