，αTβ＝≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

admin2017-12-31 36

问题

，α^Tβ＝

≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

选项

答案令α^Tβ＝k，则A²＝kA，设AX＝λX，则A²X＝λ²X＝kλX，即λ(λ－k)X＝0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或λ＝k．由λ₁＋…＋λ_n＝tr(A)且tr(A)＝k得λ₁…＝λ_n－1＝0，λ_n＝k．因为r(A)＝1，所以方程组(OE－A)X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，即λ＝0有n－1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．

解析

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考研数学三

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