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  3. 将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0)．

将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0)．

admin2016-11-03  51
问题 将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0)．
选项
答案f′(x)=[*]，利用展开式 (1+x)α=1+ax+[*]xn+… 得到 [*] 再在上式两边积分得到 [*] 级数的收敛区间为(一1，1)．但当x=±1时，等式右边的级数为 [*] 为交错级数，满足莱布尼茨准则，是收敛的，故级数的收敛域为[一1，1]，即 [*]① 其中x∈[一1，1]． 再求f(2n+1)(0)．由于f(x)麦克劳林展开式为 [*] 另一方面，由式①得到 f(2n+1)(0)=0(n=0，1，2，…)，f′(0)=1． [*] =(一1)n[*] 故 f2n+1(0)=(一1)n[1.3.5.….(2n一1)]2，n=1，2，3，…．
解析 将函数f(x)在点x0处展成幂级数，若用直接展开法需求出f(n)(x0)，这是比较困难的．若用间接展开法，可避开求f(x)的n阶导数．本例用间接展开法，为此先求f(x)的导数，将其导数展成x的幂级数后再积分即得函数的幂级数的展开式．设函数f(x)的展开式求出为
f(x)=an(x—x0)n．
另一方面，函数f(x)的展开式为
f(x)=(x—x0)n．
比较它们的同次幂系数，由展开式的唯一性，有
=an，    即  f(n)(x0)=an.n!(n=0，1，2，…)．
这是求函数在一点处的高阶导数值的有效方法．
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