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将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0).
将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0).
admin
2016-11-03
49
问题
将函数f(x)=ln(x+
)展成x的幂级数并求f
(2n+1)
(0).
选项
答案
f′(x)=[*],利用展开式 (1+x)
α
=1+ax+[*]x
n
+… 得到 [*] 再在上式两边积分得到 [*] 级数的收敛区间为(一1,1).但当x=±1时,等式右边的级数为 [*] 为交错级数,满足莱布尼茨准则,是收敛的,故级数的收敛域为[一1,1],即 [*]① 其中x∈[一1,1]. 再求f
(2n+1)
(0).由于f(x)麦克劳林展开式为 [*] 另一方面,由式①得到 f
(2n+1)
(0)=0(n=0,1,2,…),f′(0)=1. [*] =(一1)
n
[*] 故 f
2n+1
(0)=(一1)
n
[1.3.5.….(2n一1)]
2
,n=1,2,3,….
解析
将函数f(x)在点x
0
处展成幂级数,若用直接展开法需求出f
(n)
(x
0
),这是比较困难的.若用间接展开法,可避开求f(x)的n阶导数.本例用间接展开法,为此先求f(x)的导数,将其导数展成x的幂级数后再积分即得函数的幂级数的展开式.设函数f(x)的展开式求出为
f(x)=
a
n
(x—x
0
)
n
.
另一方面,函数f(x)的展开式为
f(x)=
(x—x
0
)
n
.
比较它们的同次幂系数,由展开式的唯一性,有
=a
n
, 即 f
(n)
(x
0
)=a
n
.n!(n=0,1,2,…).
这是求函数在一点处的高阶导数值的有效方法.
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