2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 (1)问X，Y是否独立? (2)分别求U＝X2和V＝Y2的密度函数fU(u)和fV(v)，并指出(U，V)服从的分布； (3)求P(U2＋V2≤1)．

设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 (1)问X，Y是否独立? (2)分别求U＝X2和V＝Y2的密度函数fU(u)和fV(v)，并指出(U，V)服从的分布； (3)求P(U2＋V2≤1)．

admin2016-01-25  70
问题 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为

(1)问X，Y是否独立?
(2)分别求U＝X2和V＝Y2的密度函数fU(u)和fV(v)，并指出(U，V)服从的分布；
(3)求P(U2＋V2≤1)．
选项
答案(1) [*] 由于 f(x，y)＝fX(x).fY(y)， (x，y)∈R2， 故X，Y相互独立． (2)FU(u)一P(U≤u)＝P(X2≤u)＝[*]f(x)dx [*] 由于X，Y相互独立，所以U＝X2和V＝Y2也相互独立，从而(U，V)的密度函数为 fUV(uv)＝fU(u)fV(v)＝[*] 由此表明，(U，V)服从区域DUV＝｛(u，v)｜0≤u≤1，0≤v≤1)上的均匀分布． (3)由(2)可知(记D＝｛(u，v)｜u2＋v2≤1，u≥0，v≥0)) P(U2＋V2≤1)＝[*]
解析 从直观上可看出X，Y独立，因而其函数X2和Y2也独立，求出边缘密度fX(x)，fY(y)，再求出U与V的分布，利用独立性即可求得(U，V)的分布．
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考研数学三

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