首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知三元二次型 f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T ,求A*β.
已知三元二次型 f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T ,求A*β.
admin
2016-12-16
62
问题
已知三元二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX,
矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中
(1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换;
(2)求出此二次型;
(3)若β=[4,一1,0]
T
,求A
*
β.
选项
答案
(1)令B=[α
1
,α
2
,α
3
],α
i
为B的列向量,显然α
1
,α
2
线性无关,α
3
=α
1
+α
2
,因而r(B)=2,由AB=一B得到 A[α
1
,α
2
,α
3
]=一[α
1
,α
2
,α
3
],即 Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=一α
2
,Aα
3
=一α
3
. 因α
1
,α
2
线性无关,故属于特征值一1的有两个线性无关的特征向量,所以λ
1
=λ
2
=一1为二重特征值.又因A的主对角线上的元素之和为λ
1
+λ
2
+λ
3
=3,故另一特征值为λ
3
=5. 设属于λ
3
=5的特征向量为α=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则 αα
1
T
=0,αα
2
T
=0. [*] 故 α=[1,1,1]
T
. 对α
1
,α
2
进行施密特正交化得到 [*] 再将β
1
,β
2
,β
3
单位化,得到 [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,且经正交变换X=QY后,二次型的标准形为 f=一y
1
2
一y
2
2
+5y
3
2
. [*] 故 f=X
T
AX=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
2
x
3
+4x
1
x
3
. (3)设 p=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
, 解得 k
1
=3,k
2
=一2,k
3
=1. 因此p=3α
1
一2α
2
+α,而 Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=一α
2
,Aα=5a, 故 A
n
β=一A
n
(3α
1
一2α
2
+α)=3A
n
α
1
一2A
n
α
2
+A
n
α =3(一1)
n
α
1
—2(一1)
n
α
2
+5
n
α [*]
解析
先由AB=一B,B=[α
1
,α
2
,α
3
]得到Aα
i
=一α
i
(i=1,2,3),从而求出A的部分特征值及其特征向量,再由主对角元素之和为3即可求出A的全部特征值,再由特征向量正交,求出其余的特征向量,再正交单位化,即可得到正交变换矩阵Q,从而可求出A,将β写成特征向量的线性组合即可求出A
n
β.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PnH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设f(x)在区间[-a,a](a>0)上有二阶连续导数,f(0)=0证明在[-a,a]上至少存在一点η,使a3f"(η)=[*]
求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.
设函数f(x)=1/(ex/(x-1)-1),则
y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________.
设f(u)具有二阶连续导数,且
设an>0(n=l,2,…),Sn=a1+a2+…+an,则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的
设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则
由曲线y=4/x和直线y=x及y=4x在第一象限中所围图形的面积为________.
设总体X的概率密度为其中λ>0为未知参数,a>0是已知常数,试根据来自总体X的简单随机样本X1,X1…,X,求λ的最大似然估计量.
一射手对同一目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率80/81,则该射手的命中率为__________.
随机试题
Inaworldasfast-changingandfullofinformationasourown,allofusneedtoknowhowtolearnwell.Yetevidencesuggests
附睾精囊
断肢再植术中操作.对肢体存活影响最大的因素是
违法主体因其违法行为所应承担的法律后果称为
按利率之间的变动关系,利率可以分为()。
出纳人员不得兼任稽核和收入、费用、债权债务账目的登记工作,但可以兼管会计档案保管工作。()
要编制存货监盘计划,主要包括( )。张注册会计师对公司固定资产的累计折旧进行了测试,认为对固定资产累计折旧的审计目标主要有( )。
关于“节约”的说法中,正确的是()。
ANESTHETIC:INSENSIBILITY:
Baby-NamingTrendsA)Overthelastfiftyyears,Americanparentshaveradicallyincreasedthevarietyofnamestheygivetheirc
最新回复
(
0
)