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已知三元二次型 f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T ,求A*β.
已知三元二次型 f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T ,求A*β.
admin
2016-12-16
65
问题
已知三元二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX,
矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中
(1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换;
(2)求出此二次型;
(3)若β=[4,一1,0]
T
,求A
*
β.
选项
答案
(1)令B=[α
1
,α
2
,α
3
],α
i
为B的列向量,显然α
1
,α
2
线性无关,α
3
=α
1
+α
2
,因而r(B)=2,由AB=一B得到 A[α
1
,α
2
,α
3
]=一[α
1
,α
2
,α
3
],即 Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=一α
2
,Aα
3
=一α
3
. 因α
1
,α
2
线性无关,故属于特征值一1的有两个线性无关的特征向量,所以λ
1
=λ
2
=一1为二重特征值.又因A的主对角线上的元素之和为λ
1
+λ
2
+λ
3
=3,故另一特征值为λ
3
=5. 设属于λ
3
=5的特征向量为α=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则 αα
1
T
=0,αα
2
T
=0. [*] 故 α=[1,1,1]
T
. 对α
1
,α
2
进行施密特正交化得到 [*] 再将β
1
,β
2
,β
3
单位化,得到 [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,且经正交变换X=QY后,二次型的标准形为 f=一y
1
2
一y
2
2
+5y
3
2
. [*] 故 f=X
T
AX=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
2
x
3
+4x
1
x
3
. (3)设 p=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
, 解得 k
1
=3,k
2
=一2,k
3
=1. 因此p=3α
1
一2α
2
+α,而 Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=一α
2
,Aα=5a, 故 A
n
β=一A
n
(3α
1
一2α
2
+α)=3A
n
α
1
一2A
n
α
2
+A
n
α =3(一1)
n
α
1
—2(一1)
n
α
2
+5
n
α [*]
解析
先由AB=一B,B=[α
1
,α
2
,α
3
]得到Aα
i
=一α
i
(i=1,2,3),从而求出A的部分特征值及其特征向量,再由主对角元素之和为3即可求出A的全部特征值,再由特征向量正交,求出其余的特征向量,再正交单位化,即可得到正交变换矩阵Q,从而可求出A,将β写成特征向量的线性组合即可求出A
n
β.
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考研数学三
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