2. 考研
  3. 已知三元二次型 f(x1 ，x2 ，x3)=XTAX， 矩阵A的对角元素之和为3，且AB+B=0，其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换； (2)求出此二次型； (3)若β=[4，一1，0]T ，求A*β．

已知三元二次型 f(x1 ，x2 ，x3)=XTAX， 矩阵A的对角元素之和为3，且AB+B=0，其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换； (2)求出此二次型； (3)若β=[4，一1，0]T ，求A*β．

admin2016-12-16  98
问题 已知三元二次型
f(x1 ，x2 ，x3)=XTAX，
矩阵A的对角元素之和为3，且AB+B=0，其中

(1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；
(2)求出此二次型；
(3)若β=[4，一1，0]T ，求A*β．
选项
答案(1)令B=[α1 ，α2 ，α3]，αi为B的列向量，显然α1 ，α2线性无关，α3=α1+α2 ，因而r(B)=2，由AB=一B得到 A[α1 ，α2 ，α3]=一[α1 ，α2 ，α3]，即 Aα1=一α1 ，Aα2=一α2 ，Aα3=一α3． 因α1 ，α2线性无关，故属于特征值一1的有两个线性无关的特征向量，所以λ1=λ2=一1为二重特征值．又因A的主对角线上的元素之和为λ1+λ2+λ3=3，故另一特征值为λ3=5． 设属于λ3=5的特征向量为α=[x1 ，x2 ，x3]T ，则 αα1T=0，αα2T=0． [*] 故 α=[1，1，1]T． 对α1 ，α2进行施密特正交化得到 [*] 再将β1 ，β2 ，β3单位化，得到 [*] 令Q=[η1 ，η2 ，η3]，则Q为正交矩阵，且经正交变换X=QY后，二次型的标准形为 f=一y12一y22+5y32． [*] 故 f=XTAX=x12+x22+x32+4x1x2+4x2x3+4x1x3． (3)设 p=k1α1+k2α2+k3α3 ， 解得 k1=3，k2=一2，k3=1． 因此p=3α1一2α2+α，而 Aα1=一α1 ，Aα2=一α2 ，Aα=5a， 故 Anβ=一An(3α1一2α2+α)=3Anα1一2Anα2+Anα =3(一1)nα1—2(一1)nα2+5nα [*]
解析 先由AB=一B，B=[α1 ，α2 ，α3]得到Aαi=一αi(i=1，2，3)，从而求出A的部分特征值及其特征向量，再由主对角元素之和为3即可求出A的全部特征值，再由特征向量正交，求出其余的特征向量，再正交单位化，即可得到正交变换矩阵Q，从而可求出A，将β写成特征向量的线性组合即可求出Anβ．
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考研数学三

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