计算下列二重积分： (Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}； (Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．

admin2017-10-23 40

问题计算下列二重积分：
(Ⅰ)

｜x²+y²一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}；
(Ⅱ)

｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．

选项

答案(Ⅰ)将积分区域分块，如图4．40．设 D₁={(x，y)｜x²+y²≤1}∩D，D₂={(x，y)｜x²+y²≥1}∩D，则D=D₁+D₂，且可分块计算二重积分 [*] 用极坐标x=cosθ，y=rsinθ计算第一个二重积分．由于 [*] 计算第二个二重积分．由于D₂=D—D₁，故 [*] (Ⅱ)依图4．41所示将区域D分割，则 [*]sin(y—x)dxdy =∫₀^πdx∫_x+π^1πsin(x一y)dy+∫₀^πdx∫_x^x+πsin(y—x)dy+∫_π^2πdxsin(y一x)dy =∫₀^πcos(x—y)｜_x+π^2πdx一∫_π^2πcos(y一x)｜_x^x+πdx—∫_π^2πcos(y—x)｜_x^2πdx

解析

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考研数学三

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计算下列二重积分： (Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}； (Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．

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