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  3. (2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛。

(2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛。

admin2018-03-11  51
问题 (2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛。
选项
答案记fn(x)=xn+nx一1，有fn(0)=一1＜0，fn(1)=n＞0，由连续函数的零点定理知，至少存在一点xn∈(0，1)，使得fn(xn)=0。 当x＞0时，f′n(x)=nxn-1+n＞0，所以fn(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程xn+nx一1=0存在唯一正实数根xn。 由xnn+nxn一1=0与xn＞0知[*]故当α＞1时，[*]因为正项级数[*]收敛，所以当α＞1时，级数[*]收敛。
解析
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考研数学一

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