(2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛。

admin2018-03-11 57

问题 (2004年)设有方程xⁿ+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x_n，并证明当α＞1时，级数

收敛。

选项

答案记f_n(x)=xⁿ+nx一1，有f_n(0)=一1＜0，f_n(1)=n＞0，由连续函数的零点定理知，至少存在一点x_n∈(0，1)，使得f_n(x_n)=0。当x＞0时，f′_n(x)=nx^n-1+n＞0，所以f_n(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程xⁿ+nx一1=0存在唯一正实数根x_n。由x_nⁿ+nx_n一1=0与x_n＞0知[*]故当α＞1时，[*]因为正项级数[*]收敛，所以当α＞1时，级数[*]收敛。

解析

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考研数学一

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