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(2004年)设有方程xn+nx一1=0,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数收敛。
(2004年)设有方程xn+nx一1=0,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数收敛。
admin
2018-03-11
38
问题
(2004年)设有方程x
n
+nx一1=0,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根x
n
,并证明当α>1时,级数
收敛。
选项
答案
记f
n
(x)=x
n
+nx一1,有f
n
(0)=一1<0,f
n
(1)=n>0,由连续函数的零点定理知,至少存在一点x
n
∈(0,1),使得f
n
(x
n
)=0。 当x>0时,f′
n
(x)=nx
n-1
+n>0,所以f
n
(x)在[0,+∞)上单调增加,故方程x
n
+nx一1=0存在唯一正实数根x
n
。 由x
n
n
+nx
n
一1=0与x
n
>0知[*]故当α>1时,[*]因为正项级数[*]收敛,所以当α>1时,级数[*]收敛。
解析
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考研数学一
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