设A、B是n阶方阵，E+AB可逆． (1)验证E+BA也可逆，且(E+BA)—1=E—B(E+AB)—1A． (2)设P=xiyi=1，利用(1)证明P可逆，并求P—1．

admin2017-07-26 58

问题设A、B是n阶方阵，E+AB可逆．
(1)验证E+BA也可逆，且(E+BA)^—1=E—B(E+AB)^—1A．
(2)设P=

x_iy_i=1，利用(1)证明P可逆，并求P^—1．

选项

答案(1) (E+BA)[E—B(E+AB)^—1A] =E+BA—B(E+AB)^—1A—BAB(E+AB)^—1A =E+BA—B(E+411)(E+AB)^—1A =E，故 (E+BA)^—1=E—B(E+AB)^—1A． (2) P=[*]=E+XY^—1，其中X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，Y=(y₁，y₂，…，y_n)^T．因1+X^TY=1+[*]x_iy_i=2≠0，由(1)知P=E+XY^T可逆，且 P^—1=(E+XY^T)^T=E—X(1+Y^TX)Y^T=E一2XY^T =[*]

解析

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考研数学三

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