设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论: aij=-AijATA=E且|A|=-1.

admin2015-07-22  34

问题 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论:
aij=-AijATA=E且|A|=-1.

选项

答案当aij=一Aij时,有AT=一A*,则ATA=一A*A=一|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即aij不全为0,所以|A|=[*] 在ATA=一|A|E两边取行列式得|A|=一1. 反之,若ATA=E且|A|=一1,由于A*A=|A|E=一E,于是,ATA=一A*A.进一步,由于A可 逆,得AT=-A*,即aij=一Aij

解析
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