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设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论: aij=-AijATA=E且|A|=-1.
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论: aij=-AijATA=E且|A|=-1.
admin
2015-07-22
54
问题
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式,证明下列结论:
a
ij
=-A
ij
A
T
A=E且|A|=-1.
选项
答案
当a
ij
=一A
ij
时,有A
T
=一A
*
,则A
T
A=一A
*
A=一|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即a
ij
不全为0,所以|A|=[*] 在A
T
A=一|A|E两边取行列式得|A|=一1. 反之,若A
T
A=E且|A|=一1,由于A
*
A=|A|E=一E,于是,A
T
A=一A
*
A.进一步,由于A可 逆,得A
T
=-A
*
,即a
ij
=一A
ij
.
解析
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考研数学三
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