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若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,证明:在(x1,x3)内至少有一点ε,使得f〞(ε)=0.
若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,证明:在(x1,x3)内至少有一点ε,使得f〞(ε)=0.
admin
2011-11-19
143
问题
若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
),其中a<x
1
<x
2
<x
3
<b,证明:在(x
1
,x
3
)内至少有一点ε,使得f〞(ε)=0.
选项
答案
证: 因为f(x)在(a,b)内具有二阶导数,a<x
1
<x
2
<b,故f(x)在[x
1
,x
2
]上连续,在(x
1
,x
2
)内可导,又f(x
1
)=f(x
2
),故由罗尔定理知存在ε
1
∈(x
1
,x
2
),使fˊ(ε
1
)=0,同理存在ε
2
∈(x
2
,x
3
)使fˊ(ε
2
)=0,故在区间[ε
1
,ε
2
]∈[a,b)内考虑fˊ(x),则对fˊ(x)在[ε
1
,ε
2
]上应用罗尔定理,存在ε∈(ε
1
,ε
2
)∈(x
1
,x
3
),使f〞(ε)=0.
解析
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考研数学三
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