若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在(x1，x3)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

admin2011-11-19 109

问题若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数，且f(x₁)＝f(x₂)＝f(x₃)，其中a＜x₁＜x₂＜x₃＜b，证明：在(x₁，x₃)内至少有一点ε，使得f〞(ε)＝0．

选项

答案证：因为f(x)在(a，b)内具有二阶导数，a＜x₁＜x₂＜b，故f(x)在[x₁，x₂]上连续，在(x₁，x₂)内可导，又f(x₁)＝f(x₂)，故由罗尔定理知存在ε₁∈(x₁，x₂)，使fˊ(ε₁)＝0，同理存在ε₂∈(x₂，x₃)使fˊ(ε₂)＝0，故在区间[ε₁，ε₂]∈[a，b)内考虑fˊ(x)，则对fˊ(x)在[ε₁，ε₂]上应用罗尔定理，存在ε∈(ε₁，ε₂)∈(x₁，x₃)，使f〞(ε)＝0．

解析

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考研数学三

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